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Définition
\(\triangleright\) Définition du delta de Dirac
La distribution \(\delta\) de Dirac est définie par:
$${{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx}}={{f(0)}}\iff \int_{-\infty}^{\infty} f(u)\delta(x-u)du=f(x)$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx=1$$
\(\triangleright\) Formulation du Dirac
Le Dirac est la somme des composantes de Fourier lorsqu'elles ont le même poids:
$$TF^{-1}\left[TF[\delta(x)]\right]=\delta(x)={{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk}}$$
$$TF\left[TF^{-1}[\delta(k)]\right]=\delta(k)={{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx}}$$
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés directes du Dirac
- \(TF^{-1}[\delta(k)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\)
- \(TF[\delta (x)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\)
